一、基本概念
我们把随机试验的每一个可能结果称为样本点(sample point)，用$\omega$表示；所有样本点组成的集合称为样本空间(sample space)，用$\Omega$表示。如果样本空间$\Omega$是一个有限集合，则称样本空间$\Omega$为有限样本空间。
样本空间的子集称为随机事件(random event)，简称事件。事件一般用$A, B, C$等大写英文字母表示。当一个事件仅包含单一样本点时，称该事件为基本事件(elementary event)。
显然，$\Omega$（全集）是必然事件，$\varnothing$（空集）是不可能事件。
相关问题
若随机试验的样本空间是$\Omega$，且$A$是一个必然事件，$B$是一个不可能事件：
- 写出$A$与$\Omega$的关系；
- 写出$B$与$\varnothing$的关系。
例题（例4）
先后两次掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数：
- 写出对应的样本空间
因此，样本空间
$$\Omega={(i, j) | 1 \leq i \leq 6, 1 \leq j \leq 6, i \in N, j \in N}$$ - 用集合表示事件
- 事件$A$：点数之和为3
$$A={(1,2),(2,1)}$$ - 事件$B$：点数之和不超过3
$$B={(1,1),(1,2),(2,1)}$$
- 事件$A$：点数之和为3
- 判断$P(A)$和$P(B)$的大小
因为$A$事件发生时，$B$事件一定发生，也就是说$B$事件发生的可能性不会比$A$事件发生的可能性小，所以直观上可知$P(A) \leq P(B)$。
拓展练习
按先后顺序抛三枚硬币，观察正反面出现的情况，选择合适的方法表示样本点，并写出样本空间。
二、事件之间的关系和运算
1. 事件关系与运算的基本类型
| 事件的关系或运算 | 含义 | 符号表示 |
|---|---|---|
| 包含 | $A$发生导致$B$发生 | $A\subset B$ |
| 并事件（和事件） | $A$与$B$至少一个发生 | $A\cup B$或$A+B$ |
| 交事件（积事件） | $A$与$B$同时发生 | $A\cap B$或$AB$ |
| 互斥（互不相容） | $A$与$B$不能同时发生 | $A\cap B=\varnothing$ |
| 互为对立 | $A$与$B$有且仅有一个发生 | $A\cap B=\varnothing$，$A\cup B=\Omega$ |
2. 多个事件的拓展
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件。例如，对于三个事件$A, B, C$：
- $A \cup B \cup C$（或$A+B+C$）发生当且仅当$A, B, C$中至少一个发生；
- $A \cap B \cap C$（或$ABC$）发生当且仅当$A, B, C$同时发生。
3. 事件表达式含义分析
设$A, B, C$为三个事件，说明下列各式所表示的意义：
- $\overline{A} B C$；
- $\overline{A+B+C}$；
- $ABC+\overline{A}BC+A\overline{B}C+AB\overline{C}$（注：原文表达式存在重复，此处修正为常见形式）。
三、古典概型
1. 古典概型的特征
- 有限性：样本空间的样本点只有有限个；
- 等可能性：每个样本点发生的可能性相等。
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型。
2. 例题（例8）
抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），观察两骰子分别可能出现的基本结果：
- 写出样本空间并判断是否为古典概型；
- 求下列事件的概率
- $A=$”两个点数之和是5″；
- $B=$”两个点数相等”；
- $C=$”I号骰子的点数大于II号骰子的点数”。
3. 思考问题
- 在例8中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？
- 当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间$\Omega_{1}={(m, n) | m,n \in{1,2,3,4,5,6},且 m \leq n}$，则$n(\Omega_{1})=21$。其中，事件$A=$”两个点数之和是5″的结果变为$A={(1,4),(2,3)}$，这时$P(A)=\frac{2}{21}$。
- 同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？
四、探究·拓展题型
1. 齐王与田忌赛马问题
田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马。现双方各出上、中、下等马各1匹分组分别进行1场比赛，胜2场及以上者获胜。若双方均不知对方马的出场顺序，试求田忌获胜的概率。
2. 2024新高考Ⅰ卷·14
甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）。则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为__。
3. 2024·全国甲卷
有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球。记$m$为前两次取出的球上数字的平均值，$n$为取出的三个球上数字的平均值，则$m$与$n$之差的绝对值不大于$\frac{1}{2}$的概率为__。
4. 2022·全国甲卷
从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为$\boxed{\frac{6}{35}}$。
解析：从正方体的8个顶点中任选4个，取法有$C_{8}^{4}=70$（种）。其中4个点共面有以下两种情况：
- 所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，有6种取法；
- 所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，也有6种取法。
所以所取的4个点在同一个平面的概率$P=\frac{12}{70}=\frac{6}{35}$。
五、概率的性质
- 对任意的事件$A$，都有$P(A) \geq 0$；
- $P(\Omega)=\boxed{1}$，$P(\varnothing)=\boxed{0}$；
- 如果事件$A$与事件$B$互斥，那么$P(A\cup B)=\boxed{P(A)+P(B)}$；
- 如果事件$A$与事件$B$互为对立事件，那么$P(B)=\boxed{1-P(A)}$，$P(A)=\boxed{1-P(B)}$；
- 因为$\varnothing \subseteq A \subseteq \Omega$，所以$0 \leq P(A) \leq 1$；如果$A\subseteq B$，那么$P(A)\boxed{\leq}P(B)$；
- 设$A,B$是一个随机试验中的两个事件，有$P(A\cup B)=\boxed{P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$。
六、作业与练习
- 完成蓝皮剩下的例题及变式；
- 完成周末练习。
